Микроэкономика 1, midterm, 2023
Задача 1
Блиц
1. Предпочтения агента Карабекяна на множестве наборов из двух альтернатив (X, Y) выпуклы и немонотонны. Нарисуйте на плоскости (X, Y) эскиз двух кривых безразличия агента. На какой из двух кривых достигается больший уровень полезности и почему? 2. Предпочтения агента Карпова на множестве наборов из двух альтернатив (X, Y) невыпуклы и строго монотонны. Нарисуйте эскиз двух кривых безразличия. На какой из двух кривых достигается больший уровень полезности и почему? 3. Пять преподавателей курса «Микроэкономика 1» решают, вставить ли задачу «Блиц» в итоговый вариант экзамена. Если все четыре семинариста за включение задачи, то она включается. Если лектор за включение задачи, то она включается. Если лектор безразличен между включением и невключением, то для включения нужно три голоса семинаристов. Во всех остальных случаях задача не включается. Исследуйте соответствующую функцию общественного выбора на анонимность, нейтральность к альтернативам и положительную отзывчивость.
15 балловЗадача 2
Смешать и не отклоняться
Найдите все равновесия Нэша в смешанных стратегиях в игре с двумя стратегиями первого игрока s1, s2 и шестью стратегиями второго игрока t1, t2, t3, t4, t5, t6. Выигрыши: для s1 это (5;15), (8;-1), (0;-2), (3;9), (4;-3), (7;3); для s2 это (7;4), (1;8), (9;10), (2;5), (6;12), (0;7).
15 балловЗадача 3
Удивительное единогласие
Рассмотрим задачу агрегирования предпочтений n > 1 агентов на множестве k > 3 альтернатив. Предпочтения всех агентов и общественные предпочтения рациональны. Рассмотрим предпочтения специального вида: Pi = i, i + 1, i + 2, ..., k, 1, 2, ..., i - 1. Будем называть профилями Кондорсе профили предпочтений, в которых каждый агент имеет одни из предпочтений Pi. Про функцию общественного выбора f известно, что она обладает свойством единогласия. Докажите, что f(P1, ..., P1) = P1. Докажите, что если профиль предпочтений Кондорсе таков, что f = P1, то хотя бы один агент имеет предпочтения P1. Верно ли, что f обязательно обладает свойством независимости от посторонних альтернатив?
20 балловЗадача 4
Прикладываем усилия
На далёком острове живут два индивида F и R, которые принимают решение об уровне усилий для выживания и улучшения жизни на острове. Функция полезности каждого индивида i задана как ui(xi, xj) = min(20xj - 2, 5xj + 4) * xi - 5xi^2, где xi принадлежит [0, 1]. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях при одновременном выборе усилий и изобразите оптимальные ответы игроков. Затем исследуйте, как меняются оптимальные ответы после небольшого отклонения от равновесия с 0 < xF <= xR < 0.5, и сформулируйте гипотезу о сходимости последовательностей ответов. Повторите рассуждение для равновесия с 0.5 < xF <= xR < 1 и сравните картины.
25 балловЗадача 5
Минибарные инвестиции
Вы начинающий инвестор и хотите вложиться в активы минибаров разных отелей Москвы. Есть 4 отеля с разной годовой доходностью и стандартным отклонением доходности: точки (sigma, r) равны (0.2, 0.2), (0.3, 0.5), (0.55, 0.55), (0.8, 0.65). Покажите, какие портфели можно получить, если включать не более двух активов, и выделите эффективную границу. Затем предположите, что все линейные комбинации двух портфелей на плоскости (sigma, r) являются отрезками, и изобразите множество всех рыночных портфелей. Для инвестора с функцией полезности U(P) = rP - alpha * sigmaP^2 найдите оптимальный портфель, прокомментируйте смысл коэффициента alpha, добавьте безрисковый актив с sigma_f = 0 и найдите портфель, который максимально расширяет доступное множество. При r_f = 0.6 и alpha = 1.4 определите итоговую комбинацию активов.
25 баллов